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On connaît le cri « Eurêka » prononcé par Archimède ; mais sait-on ce qu’il avait trouvé à ce moment-là ? Quel est le rapport en une couronne en or et les principes de l’hydrostatique ? Antoine Houlou-Garcia vous emmène à la découverte d’Archimède !

Etre un scientifique, c’est être habité par des énigmes à chaque instant. C’est alors qu’il prenait un bain en s’interrogeant sur une enquête scientifique digne des plus grands romans policiers qu’Archimède trouva la solution de son problème et par là même la loi qui restera dans l’histoire sous le nom de « principe d’Archimède ». Pour préciser cette histoire abordée dans la vidéo, voici le récit qu’en fait Vitruve :

9. Quant à Archimède, il a certes fait bien d'admirables découvertes dans maints domaines, mais c'est encore celle que je vais exposer qui, parmi toutes les autres, témoigne, semble-t-il, d'une ingéniosité extrême. Hiéron de Syracuse, parvenu au pouvoir royal, avait décidé de placer dans un temple, en raison de ses succès, une couronne d'or promise par un vœu aux dieux immortels : il mit le prix de l'exécution en adjudication et il pesa à l'adjudicataire, au peson, l'or nécessaire. Celui-ci soumit en temps voulu son travail, exécuté à la main avec finesse, à l'approbation du roi et, à l'aide du peson, il fit la preuve, sembla-t-il, du poids de la couronne. 10. Quand Hiéron apprit par dénonciation qu'une certaine quantité d'or avait été ôtée et remplacée par l'équivalent en argent, incorporé à l'objet, votif, furieux d'avoir été berné, mais ne trouvant aucun moyen de mettre la fraude en évidence, il pria Archimède d'y consacrer pour lui ses réflexions. Et le hasard fit que, avec ce souci en tête, celui-ci alla au bain, et là, descendant dans la baignoire, il remarqua qu'il s'en écoulait une quantité d'eau égale au volume de son corps, quand il s'y installait. Cela lui révéla le moyen de résoudre son problème : sans tarder, il bondit plein de joie hors de la baignoire et, prenant tout nu le chemin de sa maison, il manifestait à voix haute, à tout venant, qu'il avait trouvé ce qu'il cherchait. Car dans sa course il ne cessait de crier, en grec : « J'ai trouvé, j'ai trouvé ! »[1]. 11. Alors, mis ainsi sur le chemin de sa découverte, il fabriqua, dit-on, deux lingots de poids égal – qui était aussi celui de la couronne – l'un d'or, l'autre d'argent. Cela fait, il remplit d'eau jusqu'au bord un grand vase, dans lequel il plongea le lingot d'argent. Il s'écoula une quantité d'eau égale au volume immergé dans le vase. Ainsi, une fois le lingot retiré, il y versa à nouveau la quantité d'eau manquante, en mesurant avec un setier, de manière que, comme tout à l'heure, le niveau affleurât le bord. Il trouva ainsi le poids d'argent déterminé correspondant à une quantité d'eau déterminée. 12. Cette expérience faite, il plongea alors de la même manière le lingot d'or dans le vase plein, et, après l'avoir retiré, il fit alors sa mesure suivant une méthode semblable : parlant de la quantité d'eau nécessaire, non pas égale mais plus faible, il trouva dans quelle proportion, à poids égal, le lingot d'or était moins volumineux que celui d'argent. Or ensuite, après avoir rempli le vase et plongé cette fois la couronne dans la même eau, il trouva qu'il s'était écoulé plus d'eau pour la couronne que pour le lingot d'or de poids égal, et ainsi, partant du fait qu'il manquait plus d'eau dans le cas de la couronne que dans celui du lingot, il mit en évidence par son raisonnement l'alliage d'argent dans l'or et la fraude patente de l'adjudicataire.

De l’architecture, IX, Praef., 9-12 (édition C.U.F.)

 

 


[1] εὕρηκα, εὕρηκα, en grec dans le texte latin de Vitruve.

Nous utilisons les nombres tous les jours, mais quelle est la signification du mot "nombre" et quelles connexions inhérentes à ce concept peut-on dénicher ? Antoine Houlou-Garcia vous fait voyager avec des chiffres (et des lettres) dans un univers surprenant !

Si la vidéo parle des nombres,  aucune mention n'a été faite de l'arithmétique. Pour pallier l'incomplétude d'une vidéo qui se doit d'être assez brève, voici quelques compléments.  

Le terme arithmétique dérive du grec arithmos qui désigne le nombre (c’est donc la traduction grecque du latin numerus), mais aussi le rythme (tout comme numerus désignait la mesure en musique) et donnera d’ailleurs l’anglais rhyme qui désignait anciennement un nombre et plus récemment une rime et, par métonymie, un poème.

Mais arithmos n’a pas la même origine que numerus : le terme grec est certainement[1] à mettre en relation avec le verbe sanskrit ar, qui signifie adapter, ajuster, et dont dérive le verbe grec harmozô qui a le même sens, parent direct du terme harmonie. D’autre part, le participe passé passif de ce même verbe sanskrit ar est rita qui donne les termes français rite et rituel.

Ce que porte en soi le terme arithmétique est donc cet ordonnancement du monde, cette harmonie universelle à laquelle les pythagoriciens étaient si attachés et qu’ils traduisent notamment par la tetractys (cf. épisode 5), figure hautement symbolique puisqu’intimement liée au rite d’initiation de la secte. Pensons bien que les rituels sont des manières de contrôler l’univers pour s’attirer les faveurs divines tout comme la commensurabilité permet de contrôler l’univers par le biais des nombres. Si les nombres sont intimement liées aux choses comme le pensait Pythagore, alors il est logique que l’arithmétique, science des nombres, soit aussi gage de l’harmonie du monde, du cosmos. Cela explique naturellement le fondement même de la gamme pythagoricienne, basée sur des rapports de nombres (cf. épisode 2).

Tous les jeudis, Antoine Houlou-Garcia vous fait aimer les mathématiques à travers la philosophie, l'art, la mytholgie et l'histoire antique !

 

Avant l'importation du zéro par les mathématiciens arabes, Jamblique, un mathématicien grec, l’avait déjà inventé mais cette innovation tombera dans l’oubli. Antoine Houlou-Garcia vous emmène sur les pistes d’une enquête mathématique.

Jamblique est un précurseur encore peu reconnu du concept de zéro, notamment parce que ses successeurs directs ont trouvé cette idée si étrange d’un point de vue conceptuel qu’ils ne l’ont pas retenue. Pour Jamblique, le zéro – qu’il appelle oudên (« rien ») – est nécessaire pour que l’on puisse envisager tous les nombres – dont la monade (l’unité) – de la même manière : comme moyenne de ceux qui l’entourent. De même que la dyade (le nombre 2) peut être envisagée comme la moyenne de 1 et de 3, la monade doit être envisagée comme la moyenne de rien et de 2. Ce « rien », qui précède l’unité, correspond bien à notre zéro arithmétique avec ses propriétés d’addition et de multiplication, que Jamblique n’envisageait cependant pas pour une numération décimale comme le permettent les chiffres indo-arabes. Voici trois extraits du Commentaire sur l'Introduction à l'arithmétique de Nicomaque où sa pensée est clairement exprimée et dont je vous propose une traduction originale :

En divers endroits, il nous apparaît comme malgré nous qu’il faut l’admettre par la nature de la théorie : ici d’abord dans le fait que la monade est tout aussi bien la moitié de chacun de ceux qui l’entourent, la dyade et le rien, de même que les nombres suivants apparaissent comme la moitié de chacun de ceux qui les entourent. […]

Ainsi ce qui est pensé comme plus petit que la monade, qui est indivisible, le rien, préserve parfaitement l’analogie avec la monade, mieux que la moitié qu’ils utilisaient, et la monade devient elle aussi la moitié des nombres qui l’encadrent : en effet, du deux et du rien, la moitié est l’un. […]

[…] quant au rien, qu’il semble multiplier lui-même ou un autre, ne sortira jamais de lui-même. En effet, rien fois rien et 9 fois rien sont rien ; c’est égal à aucunement 9. Et de même pour les autres.

Traduction d'Antoine Houlou-Garcia basée sur le texte grec de Iamblichi in Nicomachi arithmeticam introductionem liber, éd. Ermenegildo Pistelli, Leipzig, Teubner, 1894 ; p. 16, lignes 6 à 11 ; p. 18, lignes 21 à 26 ; p. 19, lignes 11 à 14.

 

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Qu’il est difficile de raconter des histoires mathématiques en quelques minutes ! Heureusement, le bonus permet à chaque fois de creuser un peu plus le récit de la vidéo.

Dans la vidéo sur le nombre imaginaire, je n’ai pas parlé du fameux Rafael Bombelli qui énonça les règles de calcul du nombre imaginaire, un peu à la mode du « les ennemis de mes ennemis sont mes amis » pour faire comprendre que moins par moins donne plus. Voici leur écriture originale et leur traduction en écriture moderne :

Più via più di meno, fa più di meno.

(+ 1 ) × (+ i) = + i

Meno via più di meno, fa meno di meno.

(-1 ) × (+ i) = - i

Più via meno di meno, fa meno di meno.

(+ 1 ) × (- i) = - i

Meno via meno di meno, fa più di meno.

(-1 ) × (- i) = + i

Più di meno via più di meno, fa meno.

(+ i ) × (+ i) = - 1

Più di meno via men di meno, fa più.

(+ i ) × (- i) = + 1

Meno di meno via più di meno, fa più.

(- i ) × (+ i) = + 1

Meno di meno via men di meno, fa meno.

(- i ) × (- i) = - 1

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Comme on l'a vu dans la vidéo de l'épisode n°23, les nombres ont une qualité intrinsèque qui tient à leur vertu : abondance, déficience et perfection sont ici des caractéristiques qui tiennent au rapport entre le tout et ses parties. La perfection est le juste équilibre du tout et des parties mais aussi le juste milieu entre abondance et déficience, suivant ainsi la morale classique. Euclide montre (proposition 36 du Livre IX) que si 2^p - 1 est premier, alors 2^(p-1) - 1 est parfait. Euler démontrera au dix-huitième siècle que tous les nombres parfaits pairs sont de cette forme.

Voici comment Boèce décrit ces nombres : 

Ceux dont le nombre des parties va au-delà de ce qui est suffisant sont appelés abondants. Exemples : 12, 24. Car si l'on compare ces nombres à leurs parties, la somme de ces parties est plus grande que la totalité du corps. Le nombre 12 a une moitié, 6, un tiers, 4, un quart, 3, un sixième, 2, un douzième, 1, et le total de tout cela est en excès : il monte à 16, et il dépasse la valeur du corps tout entier du nombre. Quant à 24, il a une moitié, 12, un tiers, 8, un quart, 6, un sixième, 4, un huitième, 3, un douzième, 2, un vingt-quatrième, 1, qui, tous ensemble, valent 36 : là, il est clair que la somme des parties est plus grande et plus abondante que le corps lui-même.

C'est ce nombre, dont la somme des parties l'emporte sur la valeur du nombre tout entier, que l'on appelle abondant.

Quant au nombre déficient, c'est celui dont la somme des parties, effectuée de la même façon, est surpassée par la valeur du terme tout entier. [...]

Entre ces deux espèces, comme entre deux excès opposés, la juste mesure du moyen terme est tenue par le nombre que l'on appelle parfait, imitateur de la vertu : il n'est pas soumis à l'étirement d'une progression surabondante, ni, inversement, resserré et contracté par la diminution, mais, occupant une place médiane, il est égal à ses propres parties : ni épaissi par l'abondance, ni rendu indigent par la privation. Exemples : 6, 28. Car le nombre 6 a une moitié, 3, un tiers, 2, et un sixième, 1 : si ces parties sont additionnées, on trouvera que la totalité du corps du nombre est égale à ses propres parties. Quant à 28, il a une moitié, 14, un septième, 4, mais aussi un quart, 7 ; il possède un quatorzième, 2, et l'on trouvera en lui un vingt-quatrième, 1 ; si ces parties sont additionnées, la totalité du corps sera égale à ses parties ; car les parties additionnées feront 28.

Il y a dans ces nombres aussi une grande similitude avec le vice et la vertu.

Institution arithmétique, I, 19-20

Aujourd'hui, Arithm'Antique cède sa place à une vidéo de Scienticfiz, avec qui la dernière vidéo avait été réalisée, pour vous présenter quelques philosophes et mathématiciens présents sur le célèbre tableau de Raphaël !

 

Tous les jeudis, Antoine Houlou-Garcia vous fait aimer les mathématiques à travers la philosophie, l'art, la mytholgie et l'histoire antique !

Pour célébrer le "Pi-Day" et mettre en pratique l'axiome de continuité et la méthode d'exhaustion, Antoine Houlou-Garcia vous présente la démonstration archimédienne d'équivalence entre un cercle et un triangle qui sert de base à l'approximation et l'encadrement de Pi.

Voici un épisode spécial, né de la collaboration entre Scienticfiz et Arithm'Antique, sur la tetraktys de Pythagore. Vous pouvez le retrouver également ici.

 

Tous les jeudis, Antoine Houlou-Garcia vous fait aimer les mathématiques à travers la philosophie, l'art, la mytholgie et l'histoire !

L’arbêlos est un outil bien étrange qui a inspiré aussi bien Archimède que Pappus d’Alexandrie. Antoine Houlou-Garcia vous présente trois résultats concernant cette forme fascinante : moyenne géométrique, surface et fractales sont au programme !

Tous les jeudis, Antoine Houlou-Garcia vous fait aimer les mathématiques à travers la philosophie, l'art, la mytholgie et l'histoire antique !

Associer les modes de gouvernement aux différentes manières de calculer une moyenne, c’est le défi que se sont lancé Platon et Aristote mais également Boèce. Antoine Houlou-Garcia vous présente à la fois le calcul des moyennes arithmétique, géométrique, harmonique et la conception politique que les trois auteurs en avaient !

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