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La démocratie représentative est un système dans lequel on est régulièrement amené à voter. Mais saviez-vous qu’on peut « truquer » les élections grâces aux mathématiques ? En quelques minutes, Antoine Houlou-Garcia vous présente toutes les astuces possibles qui vous permettront de ne plus jamais perdre une élection !

Mais ce que vous n’avez peut-être pas vu, c’est le lien entre la dernière méthode proposée dans la vidéo (diviser pour régner) et… le tennis !

Eh oui, imaginez un match dont le résultat, en trois sets, est 7-6 0-6 7-6. Le vainqueur de ce match est celui qui gagne deux sets sur trois ; mais ce même vainqueur n’a en réalité gagné que 14 jeux contre 18 pour son adversaire. Pour gagner un match de tennis, il faut donc bien savoir répartir ses jeux : c’est ce qu’a fait le vainqueur de notre confrontation fictive puisqu’il a même réussi à optimiser son nombre de jeux gagnés. Son adversaire, à l’inverse, a laissé des forces bien inutiles dans le premier et le troisième sets. Un peu comme Hillary Clinton qui, malgré un nombre supérieur de suffrages en sa faveur, a perdu l’élection présidentielle américaine par le biais du découpage en Etats…

De la quadrature du cercle à l’Homme de Vitruve dessiné par Léonard de Vinci, Antoine Houlou-Garcia vous raconte comment mettre des carrés dans des cercles.

Voici l'ensemble du passage de Vitruve cité partiellement dans la vidéo n°16 d'Arithm'Antique :

L'ordonnance d'un édifice consiste dans la proportion, chose à laquelle l'architecte doit apporter le plus grand soin. Or, la proportion naît du rapport de grandeur que les Grecs appellent ἀναλογία. Ce rapport est la convenance de mesure qui existe entre une certaine partie des membres d'un ouvrage et le tout ; c'est d'après cette partie qu'on règle les proportions. Car il n'est point d'édifice qui, sans proportion ni rapport, puisse être bien ordonné ; il doit avoir la plus grande analogie avec un corps humain bien formé.

Or, voici les proportions que lui a données la nature : le visage, depuis le menton jusqu'au haut du front, à la racine des cheveux, est la dixième partie de la hauteur de l'homme ; la paume de la main, depuis l'articulation du poignet jusqu'au bout du doigt du milieu, a la même longueur ; la tête, depuis le menton jusqu'au sommet, forme la huitième partie; même mesure par derrière; depuis le haut de la poitrine jusqu'à la racine des cheveux, il y a une sixième partie, et jusqu'au sommet de la tête une quatrième. La longueur du visage se divise en trois parties la première s'étend depuis le bas du menton jusqu'au-dessous du nez ; la seconde, depuis le dessous du nez jusqu'au haut des sourcils, et la troisième, depuis cette ligne jusqu'à la racine des cheveux, qui termine le front. Le pied a la sixième partie de la hauteur du corps ; le coude, la quatrième, de même que la poitrine. Les autres membres ont aussi leurs mesures et leurs proportions ; c'est en les observant que les plus célèbres peintres et sculpteurs de l'antiquité ont acquis une réputation si grande et si durable.

3. Il en est de même des parties d'un édifice sacré : toutes doivent avoir dans leur étendue particulière des proportions qui soient en harmonie avec la grandeur générale du temple. Le centre du corps est naturellement au nombril. Qu'un homme, en effet, soit couché sur le dos, les mains et les pieds étendus, si l'une des branches d'un compas est appuyée sur le nombril, l'autre, en décrivant une ligne circulaire, touchera les doigts des pieds et des mains. Et de même qu'un cercle peut être figuré avec le corps ainsi étendu, de même on peut y trouver un carré : car si on prend la mesure qui se trouve entre l'extrémité des pieds et le sommet de la tête, et qu'on la rapporte à celle des bras ouverts, on verra que la largeur répond à la hauteur, comme dans un carré fait à l'équerre.

 

Quant à la quadrature du cercle, si elle est insoluble, elle a néanmoins donné l'idée de s'en moquer à Aristophane dans Les Oiseaux où Métôn, le géomètre ridicule et incompréhensible, en souffle quelques mots : 

J’applique une règle droite, de manière à ce que tu aies un cercle tétragone ; au centre est l’Agora, les rues qui y conduisent sont droites et convergentes au centre, ainsi que d’un astre, qui est rond de sa nature, partent des rayons droits qui brillent dans tous les sens.

On a tous vaguement en tête le théorème de Thalès, mais qui était ce Monsieur Thalès ? Antoine Houlou-Garcia vous présente ce philosophe, mathématicien, initiateur de la pensée moderne, mais aussi personnage astucieux et roublard qui aida Crésus à traverser un fleuve et fit la première spéculation économique de l’histoire !

Cet épisode vous a permis de découvrir ou de redécouvrir Thalès, ce personnage si important dans l’histoire de la science et de la philosophie. Vous avez également pu découvrir quelques idées de son disciple Anaximandre de Milet. Voici deux citations qui complètent ce que ce septième épisode d’Arithm’Antique vous a présenté sur sa pensée :

Il affirme encore que l’homme a été au commencement engendré à partir d’animaux d’espèces différentes, compte tenu du fait que les autres animaux se nourrissent très tôt par leurs propres moyens alors que l’homme est le seul à réclamer un allaitement prolongé : c’est pourquoi, au commencement, l’homme n’aurait pas pu trouver son salut, si sa nature avait déjà été telle qu’elle est maintenant. (Pseudo-Plutarque, Stromates, 2)

Les animaux sont engendrés à parti de l’humide évaporé par le Soleil. Mais l’homme est engendré par un autre animal, plus précisément le poisson, et au commencement ressemblait à un poisson. (Hipployte, Réfutation de toutes les hérésies, I, 6)

On connaît le cri « Eurêka » prononcé par Archimède ; mais sait-on ce qu’il avait trouvé à ce moment-là ? Quel est le rapport en une couronne en or et les principes de l’hydrostatique ? Antoine Houlou-Garcia vous emmène à la découverte d’Archimède !

Etre un scientifique, c’est être habité par des énigmes à chaque instant. C’est alors qu’il prenait un bain en s’interrogeant sur une enquête scientifique digne des plus grands romans policiers qu’Archimède trouva la solution de son problème et par là même la loi qui restera dans l’histoire sous le nom de « principe d’Archimède ». Pour préciser cette histoire abordée dans la vidéo, voici le récit qu’en fait Vitruve :

9. Quant à Archimède, il a certes fait bien d'admirables découvertes dans maints domaines, mais c'est encore celle que je vais exposer qui, parmi toutes les autres, témoigne, semble-t-il, d'une ingéniosité extrême. Hiéron de Syracuse, parvenu au pouvoir royal, avait décidé de placer dans un temple, en raison de ses succès, une couronne d'or promise par un vœu aux dieux immortels : il mit le prix de l'exécution en adjudication et il pesa à l'adjudicataire, au peson, l'or nécessaire. Celui-ci soumit en temps voulu son travail, exécuté à la main avec finesse, à l'approbation du roi et, à l'aide du peson, il fit la preuve, sembla-t-il, du poids de la couronne. 10. Quand Hiéron apprit par dénonciation qu'une certaine quantité d'or avait été ôtée et remplacée par l'équivalent en argent, incorporé à l'objet, votif, furieux d'avoir été berné, mais ne trouvant aucun moyen de mettre la fraude en évidence, il pria Archimède d'y consacrer pour lui ses réflexions. Et le hasard fit que, avec ce souci en tête, celui-ci alla au bain, et là, descendant dans la baignoire, il remarqua qu'il s'en écoulait une quantité d'eau égale au volume de son corps, quand il s'y installait. Cela lui révéla le moyen de résoudre son problème : sans tarder, il bondit plein de joie hors de la baignoire et, prenant tout nu le chemin de sa maison, il manifestait à voix haute, à tout venant, qu'il avait trouvé ce qu'il cherchait. Car dans sa course il ne cessait de crier, en grec : « J'ai trouvé, j'ai trouvé ! »[1]. 11. Alors, mis ainsi sur le chemin de sa découverte, il fabriqua, dit-on, deux lingots de poids égal – qui était aussi celui de la couronne – l'un d'or, l'autre d'argent. Cela fait, il remplit d'eau jusqu'au bord un grand vase, dans lequel il plongea le lingot d'argent. Il s'écoula une quantité d'eau égale au volume immergé dans le vase. Ainsi, une fois le lingot retiré, il y versa à nouveau la quantité d'eau manquante, en mesurant avec un setier, de manière que, comme tout à l'heure, le niveau affleurât le bord. Il trouva ainsi le poids d'argent déterminé correspondant à une quantité d'eau déterminée. 12. Cette expérience faite, il plongea alors de la même manière le lingot d'or dans le vase plein, et, après l'avoir retiré, il fit alors sa mesure suivant une méthode semblable : parlant de la quantité d'eau nécessaire, non pas égale mais plus faible, il trouva dans quelle proportion, à poids égal, le lingot d'or était moins volumineux que celui d'argent. Or ensuite, après avoir rempli le vase et plongé cette fois la couronne dans la même eau, il trouva qu'il s'était écoulé plus d'eau pour la couronne que pour le lingot d'or de poids égal, et ainsi, partant du fait qu'il manquait plus d'eau dans le cas de la couronne que dans celui du lingot, il mit en évidence par son raisonnement l'alliage d'argent dans l'or et la fraude patente de l'adjudicataire.

De l’architecture, IX, Praef., 9-12 (édition C.U.F.)

 

 


[1] εὕρηκα, εὕρηκα, en grec dans le texte latin de Vitruve.

Nous utilisons les nombres tous les jours, mais quelle est la signification du mot "nombre" et quelles connexions inhérentes à ce concept peut-on dénicher ? Antoine Houlou-Garcia vous fait voyager avec des chiffres (et des lettres) dans un univers surprenant !

Si la vidéo parle des nombres,  aucune mention n'a été faite de l'arithmétique. Pour pallier l'incomplétude d'une vidéo qui se doit d'être assez brève, voici quelques compléments.  

Le terme arithmétique dérive du grec arithmos qui désigne le nombre (c’est donc la traduction grecque du latin numerus), mais aussi le rythme (tout comme numerus désignait la mesure en musique) et donnera d’ailleurs l’anglais rhyme qui désignait anciennement un nombre et plus récemment une rime et, par métonymie, un poème.

Mais arithmos n’a pas la même origine que numerus : le terme grec est certainement[1] à mettre en relation avec le verbe sanskrit ar, qui signifie adapter, ajuster, et dont dérive le verbe grec harmozô qui a le même sens, parent direct du terme harmonie. D’autre part, le participe passé passif de ce même verbe sanskrit ar est rita qui donne les termes français rite et rituel.

Ce que porte en soi le terme arithmétique est donc cet ordonnancement du monde, cette harmonie universelle à laquelle les pythagoriciens étaient si attachés et qu’ils traduisent notamment par la tetractys (cf. épisode 5), figure hautement symbolique puisqu’intimement liée au rite d’initiation de la secte. Pensons bien que les rituels sont des manières de contrôler l’univers pour s’attirer les faveurs divines tout comme la commensurabilité permet de contrôler l’univers par le biais des nombres. Si les nombres sont intimement liées aux choses comme le pensait Pythagore, alors il est logique que l’arithmétique, science des nombres, soit aussi gage de l’harmonie du monde, du cosmos. Cela explique naturellement le fondement même de la gamme pythagoricienne, basée sur des rapports de nombres (cf. épisode 2).

Tous les jeudis, Antoine Houlou-Garcia vous fait aimer les mathématiques à travers la philosophie, l'art, la mytholgie et l'histoire antique !

 

Avant l'importation du zéro par les mathématiciens arabes, Jamblique, un mathématicien grec, l’avait déjà inventé mais cette innovation tombera dans l’oubli. Antoine Houlou-Garcia vous emmène sur les pistes d’une enquête mathématique.

Jamblique est un précurseur encore peu reconnu du concept de zéro, notamment parce que ses successeurs directs ont trouvé cette idée si étrange d’un point de vue conceptuel qu’ils ne l’ont pas retenue. Pour Jamblique, le zéro – qu’il appelle oudên (« rien ») – est nécessaire pour que l’on puisse envisager tous les nombres – dont la monade (l’unité) – de la même manière : comme moyenne de ceux qui l’entourent. De même que la dyade (le nombre 2) peut être envisagée comme la moyenne de 1 et de 3, la monade doit être envisagée comme la moyenne de rien et de 2. Ce « rien », qui précède l’unité, correspond bien à notre zéro arithmétique avec ses propriétés d’addition et de multiplication, que Jamblique n’envisageait cependant pas pour une numération décimale comme le permettent les chiffres indo-arabes. Voici trois extraits du Commentaire sur l'Introduction à l'arithmétique de Nicomaque où sa pensée est clairement exprimée et dont je vous propose une traduction originale :

En divers endroits, il nous apparaît comme malgré nous qu’il faut l’admettre par la nature de la théorie : ici d’abord dans le fait que la monade est tout aussi bien la moitié de chacun de ceux qui l’entourent, la dyade et le rien, de même que les nombres suivants apparaissent comme la moitié de chacun de ceux qui les entourent. […]

Ainsi ce qui est pensé comme plus petit que la monade, qui est indivisible, le rien, préserve parfaitement l’analogie avec la monade, mieux que la moitié qu’ils utilisaient, et la monade devient elle aussi la moitié des nombres qui l’encadrent : en effet, du deux et du rien, la moitié est l’un. […]

[…] quant au rien, qu’il semble multiplier lui-même ou un autre, ne sortira jamais de lui-même. En effet, rien fois rien et 9 fois rien sont rien ; c’est égal à aucunement 9. Et de même pour les autres.

Traduction d'Antoine Houlou-Garcia basée sur le texte grec de Iamblichi in Nicomachi arithmeticam introductionem liber, éd. Ermenegildo Pistelli, Leipzig, Teubner, 1894 ; p. 16, lignes 6 à 11 ; p. 18, lignes 21 à 26 ; p. 19, lignes 11 à 14.

 

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Qu’il est difficile de raconter des histoires mathématiques en quelques minutes ! Heureusement, le bonus permet à chaque fois de creuser un peu plus le récit de la vidéo.

Dans la vidéo sur le nombre imaginaire, je n’ai pas parlé du fameux Rafael Bombelli qui énonça les règles de calcul du nombre imaginaire, un peu à la mode du « les ennemis de mes ennemis sont mes amis » pour faire comprendre que moins par moins donne plus. Voici leur écriture originale et leur traduction en écriture moderne :

Più via più di meno, fa più di meno.

(+ 1 ) × (+ i) = + i

Meno via più di meno, fa meno di meno.

(-1 ) × (+ i) = - i

Più via meno di meno, fa meno di meno.

(+ 1 ) × (- i) = - i

Meno via meno di meno, fa più di meno.

(-1 ) × (- i) = + i

Più di meno via più di meno, fa meno.

(+ i ) × (+ i) = - 1

Più di meno via men di meno, fa più.

(+ i ) × (- i) = + 1

Meno di meno via più di meno, fa più.

(- i ) × (+ i) = + 1

Meno di meno via men di meno, fa meno.

(- i ) × (- i) = - 1

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Comme on l'a vu dans la vidéo de l'épisode n°23, les nombres ont une qualité intrinsèque qui tient à leur vertu : abondance, déficience et perfection sont ici des caractéristiques qui tiennent au rapport entre le tout et ses parties. La perfection est le juste équilibre du tout et des parties mais aussi le juste milieu entre abondance et déficience, suivant ainsi la morale classique. Euclide montre (proposition 36 du Livre IX) que si 2^p - 1 est premier, alors 2^(p-1) - 1 est parfait. Euler démontrera au dix-huitième siècle que tous les nombres parfaits pairs sont de cette forme.

Voici comment Boèce décrit ces nombres : 

Ceux dont le nombre des parties va au-delà de ce qui est suffisant sont appelés abondants. Exemples : 12, 24. Car si l'on compare ces nombres à leurs parties, la somme de ces parties est plus grande que la totalité du corps. Le nombre 12 a une moitié, 6, un tiers, 4, un quart, 3, un sixième, 2, un douzième, 1, et le total de tout cela est en excès : il monte à 16, et il dépasse la valeur du corps tout entier du nombre. Quant à 24, il a une moitié, 12, un tiers, 8, un quart, 6, un sixième, 4, un huitième, 3, un douzième, 2, un vingt-quatrième, 1, qui, tous ensemble, valent 36 : là, il est clair que la somme des parties est plus grande et plus abondante que le corps lui-même.

C'est ce nombre, dont la somme des parties l'emporte sur la valeur du nombre tout entier, que l'on appelle abondant.

Quant au nombre déficient, c'est celui dont la somme des parties, effectuée de la même façon, est surpassée par la valeur du terme tout entier. [...]

Entre ces deux espèces, comme entre deux excès opposés, la juste mesure du moyen terme est tenue par le nombre que l'on appelle parfait, imitateur de la vertu : il n'est pas soumis à l'étirement d'une progression surabondante, ni, inversement, resserré et contracté par la diminution, mais, occupant une place médiane, il est égal à ses propres parties : ni épaissi par l'abondance, ni rendu indigent par la privation. Exemples : 6, 28. Car le nombre 6 a une moitié, 3, un tiers, 2, et un sixième, 1 : si ces parties sont additionnées, on trouvera que la totalité du corps du nombre est égale à ses propres parties. Quant à 28, il a une moitié, 14, un septième, 4, mais aussi un quart, 7 ; il possède un quatorzième, 2, et l'on trouvera en lui un vingt-quatrième, 1 ; si ces parties sont additionnées, la totalité du corps sera égale à ses parties ; car les parties additionnées feront 28.

Il y a dans ces nombres aussi une grande similitude avec le vice et la vertu.

Institution arithmétique, I, 19-20

Aujourd'hui, Arithm'Antique cède sa place à une vidéo de Scienticfiz, avec qui la dernière vidéo avait été réalisée, pour vous présenter quelques philosophes et mathématiciens présents sur le célèbre tableau de Raphaël !

 

Tous les jeudis, Antoine Houlou-Garcia vous fait aimer les mathématiques à travers la philosophie, l'art, la mytholgie et l'histoire antique !

Pour célébrer le "Pi-Day" et mettre en pratique l'axiome de continuité et la méthode d'exhaustion, Antoine Houlou-Garcia vous présente la démonstration archimédienne d'équivalence entre un cercle et un triangle qui sert de base à l'approximation et l'encadrement de Pi.

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