Bonus Arithm'Antique n°36 - La proportion harmonique dans le demi-cercle

Tous les jeudis, Antoine Houlou-Garcia vous fait aimer les mathématiques à travers la philosophie, l'art, la mytholgie et l'histoire antique !

En complément de la vidéo, voici comment démontrer que la proportion harmonique de AΔ et ΔΓ est représentée par le segment BZ dans le demi-cercle proposé par Pappus d'Alexandrie. 

Il suffit de remarquer que, dans le triangle ⁡ΔBE, cos (⁡B) = ΔB/BE et, dans le triangle ΔBZ, cos (⁡B) = BZ/ΔB. On en déduit que BZ = ΔB² x BE. Or ΔB est la moyenne géométrique de AΔ et ΔΓ, donc ΔB² = AΔ x ΔΓ et BE en est la moyenne arithmétique (car c'est un rayon).

On obtient ainsi : BZ = AΔ x ΔΓ / ((AΔ + ΔΓ)/2) = 2 / (1/AΔ + 1/ΔΓ). BZ est donc bien la moyenne harmonique de AΔ et ΔΓ.

 

 


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